domingo, 7 de noviembre de 2010
optimizacion 2
problema de optimizacion 2:
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
optimizacion 1
optimizacion
Optimización puede refereirse a:
En matemáticas:
Optimización (matemática), el proceso de encontrar los mínimos y máximos de una función. Algunas de sus ramas son:
Optimización combinatoria
Optimización multiobjetivo
Optimización de topología multifase, una técnica de simulación
ejemplo 1:
Optimización puede refereirse a:
En matemáticas:
Optimización (matemática), el proceso de encontrar los mínimos y máximos de una función. Algunas de sus ramas son:
Optimización combinatoria
Optimización multiobjetivo
Optimización de topología multifase, una técnica de simulación
ejemplo 1:
Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.
puntos críticos: máximos, mínimos, inflexión
Máximos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
Punto de inflexión
Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx. o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.
En F(x) = x4 - 4•x2 = x2•(x2 - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4•x3 - 8•x = 4•x•(x2 - 2) presenta un máximo y un míninimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.
Función creciente y/o decreciente.
Creciente en xo si para x > xo F(x) ≥ F(xo) ► F ' (xo) ≥ 0
ya que:
F(x) - F(xo)
F'(xo) = Lim
————————
≥ 0
x → xo
x - xo
Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva; F '(xo) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).
Decreciente en xo si para x > xo F(x) ≤ F(xo) ► F ' (xo) ≤ 0
Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa; F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))
Mínimos de una Función.
En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(xo) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).
Punto de inflexión
Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx. o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.
En F(x) = x4 - 4•x2 = x2•(x2 - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4•x3 - 8•x = 4•x•(x2 - 2) presenta un máximo y un míninimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión.
Función creciente y/o decreciente.
Creciente en xo si para x > xo F(x) ≥ F(xo) ► F ' (xo) ≥ 0
ya que:
F(x) - F(xo)
F'(xo) = Lim
————————
≥ 0
x → xo
x - xo
Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es positiva; F '(xo) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).
Decreciente en xo si para x > xo F(x) ≤ F(xo) ► F ' (xo) ≤ 0
Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, xo, si su derivada, en ese punto, xo, es negativa; F '(xo) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).
criterios de la segunda derivada
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto que contiene a c, y f'(c) = 0,f(c)debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f'(c) = 0,f(c)debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f'(c) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c
1. Si f''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
Si f''(c) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en c, un mínimo relativo en (c,f(c)) o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada
criterios de la primera derivada
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.
derivada implicita
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
derivadas en cadena
derivada en cadena
En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Descripción de la regla
En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.
Tenemos
la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:, cuyas derivadas serían:
derivadas ysus conceptos
las derivadas
es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex ó exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x), f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
Luego la derivada de una constante es siempre cero.
derivada de la función exponencial
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
derivada de un producto
Sea v y u dos funciones
la derivada del producto de (u*v) es la primer funcion por la derivada del la segunda funcion, mas la segunda funcion por la derivada de la primer funcion. Esto es:
(u*v)´= u(v)´+ v(u)´
la derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una raiz
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
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